微积分-级数

本文是微积分复习的第三篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第22章-第26章的内容。

  • 函数与微分
  • 积分
  • 级数 <=
  • 其他

级数的进入是从数列开始的,首先是数列的收敛性,然后是级数的收敛性,然后过度到泰勒级数,最后是对泰勒级数的应用(估值问题)。
级数是积分概念在离散数列的延伸,正向理解,是对离散数据的求和,反向理解,是对函数的分解。就分解而言,在工程领域得到了充分的应用。

级数的收敛性

数列收敛性

谈到收敛性,就离不开极限,而数列从函数那里继承了很多极限的性质:

  • 数列继承了函数的极限性质
  • 三明治定理
  • 连续函数保持极限,lim g(x) -> L 则lim f(g(x)) -> f(L)

级数收敛性简介

级数就是和,就是将数列an的所有项都加起来;
级数对等的是积分,无穷级数的收敛性对等反常积分对无限的积分,这样对反常积分收敛性的4种判别方法,就可以应用到级数上,另外级数也有几种独有的级数。

反常积分的方法

  • 第n项判别法
    第n项判别法
    注意:第n项判别法不能用于级数收敛性的判别,即lim an = 0未必收敛。

  • 极限比较判别法
    极限比较判别法.png

  • p判别法
    p值判断法.png

  • 绝对收敛判别法
    绝对收敛判别法.png

特有的方法

以上是从反常积分继承来的判别法,以下是级数特有的判别法,包括:比式判别法、根式判别法、积分判别法和交错级数判别法
比式判别法与根式判别法不之间判断源数列,而是构建一个新的数列,通过判断新数列的收敛性来判断级数的收敛性

  • 比式判别法

    构建一个新的数列bn,定义其为数列相邻两项之的绝对值, 若bn收敛于一个小于1的数,则原级数收敛;大于1的数,则原级数发散;等于1,则不应该用比式判别法。

    比式判别法.png

  • 根式判别法

    根式判别式构建的新数列为第n项绝对值的n次方根,若bn收敛于一个小于1的数,则原级数收敛;大于1的数,则原级数发散;等于1,则不应该用根式判别法。

    根式判别法.png

  • 积分判别法

    积分判别法.png

    若函数的f(x)的积分积分判别法-2.png收敛,则对应级数也收敛

  • 交错级数判别法

    若级数是交错的,且各项的绝对值递减趋于0,则级数收敛
    这里引出一个条件收敛的概念,若一个级数收敛二其绝对值发散,就称为条件收敛
    示例: 交错级数.png

使用总结

判断法使用总结.png

特有方法的使用优先级高于继承方法的优先级

泰勒级数与幂级数

泰勒定理

泰勒近似定理.png

泰勒定理.png

若想证明一个函数在某些x处等于它的泰勒级数,需要证明当N → ∞ 时 RN(x) → 0.
一个极限.png 对所有x都成立。

幂级数与泰勒级数

幂级数是以a0+a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + …
也可以写成![幂级数一般形式.png])
在x=a处的幂级数:幂级数形式.png

从这个形式处,可以看出泰勒级数是一种特殊的幂级数: 幂级数与泰勒级数.png

这里有一个麦克劳林级数,它是泰勒级数的在x=0处的特例:麦克劳林级数.png

求解估值问题

示例1

用二阶泰勒多项式估算e1/3,并估算误差

n f(n)(x) f(n)(0)
0 ex 1
1 ex 1
2 ex 1
3 ex 1

估值示例1-1.png
估值示例1-2.png
估值示例1-3.png

估值示例1-4.png
估值示例1-5.png

示例2

估算sqart(27),误差不大于1/250

估值示例2-1.png
估值示例2-2.png
求得N = 1即可。P1(27) = 5 + 1/10 *(27-25) = 26/5

示例3

用三阶泰勒级数估算 cos(π/3 − 0.01) 的值 ,
估值示例3-1.png
估值示例3-2.png
求得N=3
估值示例3-3.png

其他问题

幂级数收敛半径与收敛区间

幂级数的收敛性判断,大多数时间使用比值判别法,有时可以使用根式判别法。
幂级数收敛半径.png
幂级数收敛半径-1.png
幂级数收敛半径-2.png
当|x|< 1 时绝对收敛,当|x| > 1时绝对发散。
再考虑 x = 1 与 x = -1情况:
当x = 1 时幂级数收敛半径-3.png它发散
当x = -1时 幂级数收敛半径-4.png条件收敛

利用现有泰勒级数求其他泰勒级数

麦克劳林级数1.png
麦克劳林级数2.png

可以通过换元、求导、求积分的方式求其他级数

  • 换元
    麦克劳林级数-换元.png

    麦克劳林级数-换元2.png
    麦克劳林级数-换元2-2.png

  • 求导
    麦克劳林级数-求导.png

  • 求积分
    麦克劳林级数-求积分.png

利用麦克劳林求极限

利用麦克劳林级数求极限时,将所有的函数,换算成多项式,然后进行合并求解即可
泰勒级数求极限.png
泰勒级数求极限-2.png
泰勒级数求极限-3.png
泰勒级数求极限-4.png
泰勒级数求极限-5.png