微积分-积分

本文是微积分复习的第二篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第15章-第21章的内容。

  • 函数与微分
  • 积分 <=
  • 级数
  • 其他

积分定义

简介

积分是从级数求和引入的,比如第一例子:
级数求和.png
这种引入方式即暗示积分的求(有向)面积,求位移做铺垫,也为后边级数做准备。

伸缩级数

比较有趣的一个例子:
伸缩级数.png
书中用伸缩级数的方法,推导出了平方和级数的和公式:
伸缩级数推动-1.png
将等式左侧整理后得到
伸缩级数推动-2.png
伸缩级数推动-3.png

有向面积

这一段主要从直观上看级数到积分的一个过度
有向面积.png
有向面积-2.png

定积分

定积分定义(黎曼和)

定积分是一种定义,是一种求某段[a,b]曲线y=f(x),与X轴形成闭合图形的面积。可以看出,定积分面向的是一个具体的问题,然后再次抽象之后才出现了不定积分。

这个图形面积的求法,就需要借鉴上一节有向面积。将上一节的公式区间长度趋向于0,就是这个图像的面积,也就是积分。
黎曼和.png
上一节的求和部分,也别称作黎曼和。
积分的定义也离不开极限。这里发散一下,这个叫黎曼和,也就与黎曼有关,而黎曼是19世纪人物,微积分是17世纪创立的,也就是这个定义,是很久之后才确定的。

定积分性质

有了定义,就有了几个简单的性质:

  1. 定积分性质-1.png
  2. 定积分性质-2.png
  3. 定积分性质-3.png
  4. 定积分性质-4.png
  5. 定积分性质-5.png

对这几个性质只说一点:在矩阵中,我们说线性变换符合两个公式:
T(v+w) = T(v) + T(w); T(cv) = cT(v)。如果把f(x)看作v,g(x)看作w,那积分就可以看作成一种线性变换了。

估算积分

积分既然可以看作成一种面积,面积就有大小之分
积分的简单估算.png
这样就看出,积分是在[m(b-a), M(b-a)]之间

积分中值定理

有了最大值与最小值,也就想到平均值。
积分中值定理.png
积分中值定理2.png
f(c)就可以看作是f(x)在区间[a,b]上的平均值。

微积分基本定理

注意,这里说的是微积分基本定理,将积分与微分联合到一起的定理。主要有2个基本定理,一个阐述积分与微分之间的关系,从这里引出了不定积分,另一是积分函数与被积函数的关系,从而引出了不定积分的计算方法。

第一基本定理

微积分第一基本定理.png
这里看出,微积分基本定理是与定积分相关的定理,也就是包含积分的上下限,以后的很多文章都是在上下限中做的。

其证明源自:
微积分第一定理的证明.png
微积分第一定理的证明2.png

对比不定积分与导数:
不定积分.png

第二基本定理

微积分第二基本定理.png
微积分第二基本定理的证明书中没有画图,画图的话会很简单,就是阴影部分面积的减法运算。

证明:
微积分第二定理证明.png
函数到a部分的面积是F(a),函数到b部分的面积是F(b),那[a,b]之间的面积自然就是F(b)-F(a)了。

积分上下限是函数

积分上限是函数:

这句话说全了是这样:求积分式的导数,如果积分上限是函数。解题时,其实是将上限设成另外一个变量,然后再隐函数求导。如:

积分上限是函数.png
积分上限是函数2.png
这里需要注意,dy/du中积出的函数变量是u,后边要用x替换掉。

积分下限是函数与上限是函数相同,做一个相反数即可转换成,这里不做介绍

  • 积分与导数公式

积分公式.png

微积分基本方法1

换元法

  • 示例1

    换元法示例1-1.png
    这里设t = x3,将t导入得
    (1/3)sin(x3) + C

  • 示例2
    换元法示例2.png
    这里设t = x3 + 7x - 9
    从示例2看出的公式是这样:
    换元法公式1.png

  • 示例3
    换元法示例3.png

  • 示例4
    换元法示例4.png
    这里的t = ex

  • 示例5
    换元法示例5-1.png
    这个与上边的例子有很大不同,这个需要一次函数的根式形式,需要将t设置成这个根式。
    换元法示例5-2.png

  • 理论解释
    换元法理论解释.png
    这个解释其实只解释了前4个示例,第5个示例并不在此之列

分部积分法

  • 公式
    分部积分法公式.png

    分部积分法跟贝叶斯公式有点相似

  • 示例1
    分部积分法示例1.png

    多项式与指数函数

  • 示例2
    分部积分法示例2.png
    然后以相同德办法处理等式右边第二项

    多项式与三角函数

  • 示例3
    分部积分法示例3.png
    利用三角函数两次求解后便会原值的特点

    三角函数与指数函数

  • 示例4
    以上三种都是两种基本初等函数的组合方式,ex > sin(x) > x 这种顺序
    以下这些则反之,可以认为它们比 x 还小

    分部积分法示例4-1.png
    分部积分法示例4-2.png

部分积分法

部分积分法是处理,有理函数(两个多项式函数的比值)的方法. 通过一些代数运算把它分解成几个更简单的有理函数和的形式, 然后再对真写简单的有理函数求积分.

  • 步骤

    1. 要确保分母的次幂大于分子的次幂,否则,通过除法方式,转换成此形式
    2. 对分母做因式分解
      对于二次函数,查看判别式,若大于0,则可以因式分解
    3. 分部
      分部是将因式分解之后的乘积形式,变成和形式的过程
      分部积分法1.png
      分部积分法2.png
      这有些像基向量的样子,在每个基向量的常数倍.

    4. 计算常量的值

    5. 求解分母为线性项次幂的积分
    6. 对分母是二次函数的被积函数求积分
  • 示例1:
    分部积分法3.png

  • 示例2:
    部分积分法示例2.png

  • 示例3:
    部分积分法示例3.png
    再次将进行分部,第一部分用换元法, 第二部分借用部分积分公式.png来计算
    部分积分法示例3-2.png

微积分基本方法2

三角恒等式的积分

通过几个三角恒等式进行变化,将不易求的积分转变成易求的积分.恒等式包括:

  1. 倍角公式: 倍角公式.png
  2. 毕达哥拉斯恒等式: 毕达哥拉斯恒等式.png
  3. 和差公式: 和差公式.png

这一部分的示例太多了,而且没有统一的解法,只做几个示例:

  • 示例1
    三角恒等式示例1-1.png
    给sec(x)上次幂,转换成2次进行
    三角恒等式示例1-2.png
    三角恒等式示例1-3.png

  • 示例2
    三角恒等式示例2.png

三角函数的幂积分

三角函数的幂积分,很繁琐.不同的三角函数,技巧不相同.

  • sinx或者cosx
    如果是奇数次幂,则可以将一个奇数取出,转变积分
    如果是偶数次幂,则使用倍角公式,将次幂转变成倍角

  • tan(x)
    1次幂的tan(x),转换成sinx / cosx 的形式来计算
    偶次幂的tan(x)求导很有趣,使用tan(x)与secx之间的关系,能不断的降幂,每次将2幂来完成

  • sec(x)
    1次幂的secx求导很有技巧,(sec(x) + tan(x))/(sex(x) + tan(x))相乘之后,一下便可求出
    偶次幂的sec(x),与偶次幂的tan(x)求法类似,但更复杂一些,不管的降幂,直到求出.

  • 其他
    cot(x) 同 tan(x), csc(x) 同 sec(x)

  • 示例1
    三角函数幂积分示例1.png
    将cos(x),转变成sin(x),然后将单独的cosx 放进积分中即可.

  • 示例2
    三角函数幂积分示例2.png
    将等式右侧展看,多变成多项式形式,偶次幂继续升角,奇次幂利用换元法求解

  • 示例3
    tanx的积分.png

  • 示例4
    tanx的2次幂积分.png

  • 示例5
    tanx的4次幂积分.png

  • 示例6
    secx的积分.png
    sec(x)的二次幂积分为tan(x)+c

  • 示例7
    secx的6次幂积分1.png
    secx的6次幂积分2.png
    secx的6次幂积分3.png
    这里采用了分部积分法,并且只用来降成4次幂. 4次幂的过程仍然要继续采用此方法.

  • 总结

tan(x)与sex(x)的偶次幂,都是采用了类似数学归纳法的方式,不断降维来求解

三角换元法

三角换元法不再求解的是三角函数,而是利用三角函数的特点来求解根式的积分.

三角换元法.png
进行换元之后,脱离根式,然后进行求解.

  • 示例1
    三角换元法示例1.png
    用x = 3sin(θ)来进行换元
    三角换元法示例2.png

  • 示例2
    三角换元法示例3.png
    三角换元法示例3-1.png

反常积分

反常积分要么在函数定义域内存在垂直渐进线,要么区间趋向无穷的定积分.这两种积分都涉及用极限来求积分的基本方法.在这种基本方法之上,演化出了常用的3中通用判别方法:比较判别法,极限比较判别法,p判别法,一种不太通用的判别法:绝对值判别法.这些判别法用于判断反常积分是否存在,或者称收敛.
原文中以2章的在讲述反常积分,其中,一章讲理论,一章讲示例.这里仅用一章将理论,不在积分花费更多的时间了.

2个定义

反常积分定义1.png
这是在下界的定义,在上界的定义同理

反常积分定义2.png
区间无穷的定义

比较判别法

比较判别法可以从积分的面积定义上找到源头.

比较判别法表达式.png
比较判别法图像.png
如图,如果g(x)在区间[a,b]上收敛,则f(x)也一定收敛. 反命题不成立
逆反命题是如果f(x)在区间[a,b]上发散,则g(x)也一定发散.

极限比较判别法

极限比较判别法.png
这个有同样的意义应该理解为:有相同的收敛性. 同收敛,共发散.

如: 在x -> 0时, tan(x) ~ x, sin(x) ~ x, ex-1 ~x

p判别法

p判别法,应该是最接近运用的判别法
p判别法.png
p判别法图像.png

记忆的方法是,与y=x相比, 更接近x轴霍y轴的收敛,反之发散

绝对值判别法

绝对收敛判别法.png
其他的判别法即可判别发散,也可以判别收敛.绝对值判别法,只能用来判别收敛.
在应用上,比较适合使用在sin(x)的判别上,即sin(x) <= |sin(x)| <= 1