微积分-函数与微分

本文是微积分复习的第一篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第1章-第14章的内容。

  • 函数与微分 <=
  • 积分
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  • 其他

函数基础

定义

函数是将一个对象转化成另外一个对象的规则。起始的对象称为输入,来自称为定义域的集合。返回的对象称为输出,来自称为值域的集合。
一个函数必须给每一有效的输入制定唯一的输出。

定义域

定义据包括实数集尽可能多的部分,几种常见的情况:

  1. 分母不能为0
  2. 不能取一个负数的平方根
  3. 不能取一个负数或0的对数

反函数

数据中有很多对称,例如有了函数就有反函数。
给定一个实数 y, 那么在 f 定义域中的哪个x满足 f(x) = y ?
变换 f-1 就像是 f 的撤销按钮: 如果你从 x 出发,并通过函数 f 将它变换为 y, 那么你可以通过在 y 上的反函数 f-1 来撤销这个变换的效果,取回 x
反函数图像
图像关于y=x对称

奇偶性

偶函数:f(x) = f(-x),图像关于y轴具有镜面对称性。
奇函数:f(x) = -f(-x), 图像关于原点有对称性。

常见函数的图像

  • 多项式 p(x) = anxn + an-1xn-1 + a1x1 + a0

    多项式函数图像
    一般多项式函数图像很难画,但其左右两段的走势倒是很容易判断。主要是由首项系数决定的。

    多项式函数走向

  • 有理函数 p(x) / q(x)
    有理函数图像

  • 指数函数图像
    指数函数图像

  • 对数函数图像
    对数函数图像

  • 其他
    绝对值函数,正值不变,负值关于x周对称
    开方函数,将多项式关于镜像对称

极限

x=a处的极限

从函数图像上,从左侧往右接近a时,就得到左极限; 反之从右往左接近是,就得到右极限。
当左极限等于右极限时,就称为双侧极限; 极限一般是指的双侧极限

f(x)在x = a处有一条垂直渐进线,则在a处的左极限和右极限,至少有一个是∞或−∞。

左右极限不存在的例子:f(x) = sin(1/x),在x=0,不存在左右极限。

左右极限不存在

在∞与-∞处的极限

当x->∞ f(x)有固定值,则函数有水平渐进线。

导数与sin的结合

函数与其渐进线可能会相交。

三明治定理

三明治定理
三明治定理示例

求解多项式的极限问题

  • x-> a 有理函数,有理函数求解注意通分
  • x-> a 平方根函数,注意乘共轭表达式
  • x-> ∞ 有理函数,取决于首项及其系数
  • x-> -∞ 时,若有函数需要开方时,注意取负数

导数

连续性, 直观上,连续函数的图像必须能一笔画成;
可导性, 直观上,在可导函数的图像中不会出现尖角。

连续性

  • 定义
    如果在x=a处的极限 = f(x), 则在x=a处连续。
    这个定义中包括:在x=a处有双侧极限,并且在x=a处有定义,或者f(a)存在,他们相等。

  • 区间连续定义
    f(x)在[a,b]区间上连续,在区间每一点都连续,且两个端点的单侧极限存在。

  • 介值定理
    如果f(x) 在[a,b]上连续,并且f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)上至少有一点c,使得f(c) = 0存在。

  • 最值定理
    如果f(x) 在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少有一个最大值和一个最小值。

可导性

  • 定义
    可导性-切线斜率.png

    可导性-表达式.png

    导数微分.png.
    后来有dx表示x中十分微笑的彪悍,dy表示y中十分微笑的变化。dy就是微分。

  • 不存在导数的情况
    双侧的导数不相同,直观上,就是有尖角。

  • 如果一个函数f在x上可导,则它在x上连续。

求导法则

  • 乘法法则
    求导-乘法法则.png

    乘法法则的直观展示.png
    两个变量相乘直观的展示是图中矩形的面积,长与宽都是x的函数,当x有一个小变化∆x,时,面积S如何变化。
    ∆S = ∆(uv) = v∆u + u∆v + (∆u)(∆v)。 其中(∆u)(∆v)是更高阶的无穷小,可以忽略。

  • 除法法则
    求导-商法则.png

  • 链式法则
    链式求导法则.png
    以 y=f(u) u=g(x) 为例:
    ∆y = f’(u)∆u
    ∆u = g’(x)∆x

    代入 ∆y = f’(u)g’(x)∆x
    由此 ∆y/∆x = f’(u)g’(x)

  • 常见应用
    几何:切线
    物理:加速度
    代数:导数伪装的极限

    通过导数求极限-1.png

函数的导数

多项式函数

多项式求导.png

三角函数的极限与导数

  • 极限
    sinx与x.png

    sinx与x的极限.png
    tanx的0极限.png

    x可以换成其他函数代入与x2 、5x等

    x、sinx、tanx极限的直观解释.png
    扇形面积= x/2,内三角形面积= sin(x)/2, 外三角形面积= tan(x)/2, 当x趋近0时,它们相等。
    变换:1 > sin(x)/x > cos(x),利用三明治定理,可以得到结论。

    sinx除以x图像.png
    小波函数

  • 导数

    sin’(x) = cos(x)
    cos’(x) = -sin(x)

    tan’(x) = sec2(x)
    cot’(x) = -csc2(x)

    sec’(x) = sec(x)tan(x)
    csc’(x) = -csc(x)cot(x)

    记忆:正的导数都是正好,余的导数都是负数

  • 一个有趣的函数

    f(x) = x2sin(1/x)

    根据求导公式,其在0处导数不存在

    导函数不连续.png
    这样改之后,用导数定义,发现其在0处f’(0) = 0,但它同样不连续。

    导函数不连续图像.png

  • 小结
    本节的sin(x)/x函数,是一个很漂亮的函数。貌似在小波中见过。
    关于最后这个f(x) = x2sin(1/x)。导函数在0处存在,但却不连续。这种情况基本都出在sin(1/x)这种情况内,倒数使趋向无穷大变成了趋向无穷小。

指数函数与对数函数

  • 对数基础
    logb(1) = 0

    logb(xy) = logb(x) + logb(y)
    log是可以将乘法变成加法的运算。

    logb(x/y) = logb(x) - logb(y)

    logb(xy) = ylogb(x)
    对数可以处理指数与对数都是函数的情况。

    logb(x) = logc(x) / logc(b)
    这意味着,所有不同底数的对数,其实都互为常数倍。 logb(x) = Klogc(x) K=1/logc(b)

  • e的定义
    e一种由来,可以从计算复利而得来:当年利率一定,每年结算的的次数越多,最终的金额也就越多。当次数取向无穷时,其最终金额不会趋向无穷,而是一个常数。

    e.png
    e2.png

  • 导数
    介绍e的定义,主要用于计算对数的导数。
    对数导数.png
    自然对数导数.png

    根据反函数求导
    指数函数导数.png
    指数函数导数2.png

  • 极限
    指数与多项式极限.png
    对数与多项式.png

  • 取对数求导法
    y = xsin(x)
    => ln(y) = sin(x)ln(x)
    => 取对求导-1.png
    => 取对求导-2.png
    => 取对求导-3.png

  • 指数增长与指数衰减

    微分方程.png
    y变化率取决于这个量的大小。当k是正数就是指数增长,负数就是指数衰减。

    指数增长就是指的: P(t) = P0ekt
    这时候, dP/dt = kP
    常见例子是无限条件下,兔子的增长。

    指数衰减:P(t) = P0e-kt
    dP/dt = -kP
    常见例子是放射性原子的衰减。

  • 双曲函数
    ![双曲函数.png])(双曲函数.png)
    双曲函数图像.png

    双曲函数有些像三角函数:

    1. cosh2 - sinh2 = 1
    2. d(sinh(x))/dx = cosh(x) 及 d(cosh(x))/dx = sinh(x)

    双曲函数产生

  • 小结:
    从对称性上,我们可以看到初等函数可以分成很多空间,多项式函数、三角函数、指对函数。他们在很多时候,都在自己空间内玩。比如求导运算,多项式求导之后还是多项式,三角函数求导也还是三角函数。但对数函数却打破了这种规律,它的求导变成了有理函数,这真有趣。

    另一个是e,从定义上,就可以看到e是多么神奇的一个数字。

隐函数导数

隐函数求导,比较适合于求等式的导数。

  • 示例
    x2 + y2 = 4

    2x + 2y dy/dx = 0
    dy/dx = -x/y

等式求导,一般关注于特定点,在特定点时,可以将等式求导之后,立即代入点,然后整理。对于二阶导,要等到求导2次之后再代入。

应用场景:求某个时刻的变化率问题,思路:
1、列出等式
2、等式求导

反函数导数

  • 导数与反函数存在
    在区间内单调则反函数存在,单调意味着: f’(x)>=0,或者f’(x)<=0,且等于0的点有限。

  • 公式
    反函数求导.png
    反函数求导-2.png
    把反函数表示出来,然后再代入原函数的导数,并求其倒数

  • 示例
    h(x) = x3
    h’(x) = 3x2
    反函数: y=x 1/3

    代入可得反函数的导数 1/(3x2/3)

导数与图像

  • 函数的极值
    假设函数 f 定义在开区间 (a, b) 内,并且点 c 在 (a, b) 区间内.如果点 c 为函数的局部最大值或最小值,那么点 c 一定为该函数的临界点.也就是说,f’(c) = 0 或 f’(c) 不存在

    闭区间[a,b]的最值,求f’(x) = 0的点,再加两个端点进行比较。

  • 罗尔定理
    假设函数 f 在闭区间[a, b]内连续,在开区间(a, b)内可导.如果 f(a) = f(b),那么在开区间 (a, b) 内至少存在一点 c, 使得 f‘(c) = 0.

    也就是一定有极值点。

  • 中值定理
    假设函数 f 在闭区间[a, b]内连续,在开区间(a, b)内可导,那么在开区间(a, b)内至少有一点 c 使得:
    中值定理.png
    中值定理图像.png
    可以看出,罗尔定理是中值定理的特例。

  • 二阶导数

    二级导数>0时,图像像是一个凹向上的,像是碗的一部分;二阶导书<0时,图像是凹向下的,像是倒着的碗。
    拐点:在c点两侧,二阶导符号相异,则为拐点。
    拐点图像.png
    这个感激挺有趣,经常听房价拐点、经济拐点,感觉像是在说极值点。这里的拐点却不是。
    拐点处f’’(c) = 0,但反过来并不成立,比如f(x) = x4

导数的应用

最优化涉及找出各种可能情况中最好的一种;
线性化是一种对难以计算的量找出其估算值的有用技术

最优化

  1. 找到变量
  2. 找出等式
  3. 消元
  4. 求最值,可能用到隐函数求导

书上给出3个实例,这里不多介绍了

线性化

线性化其实是用直线(一阶函数)来拟合原函数(曲线),以求解问题。
f(a+∆x) ≈ f(a) + f’(a)∆x.
线性化图像.png

微分: 其中量df = f’(a)∆x,称为f在 x=a 处的微分。
误差: r(x) = f(x) - L(x)
r(x) = f‘’(c)(x − a)2 , 其中 c 为在 x 和 a 之间的某个数

示例:

  1. 估算 (6.01)2
    f’(x) = 2x
    df = f’(a)∆x = f’(6)(0.01) = 12 × (0.01) = 0.12
    (6.01)2 ≈ 36.12

估算零点的牛顿法

牛顿法求0值,是线性化的一个应用

假设现在要解一个形为 f (x) = 0 的方程,但你死活都解不出来.所以你退而求其次,试着猜测该方程有一个解,并把它记为 a.

牛顿法图像.png
牛顿法.png

失效的情况:

  • f‘(a) 的值接近于 0.
    牛顿法失效-1.png

  • 近似可能越来越糟
    f (x) = x1/3,唯一解是 0 ,
    代入公式:b = -2a,除非从0开始,否则越来越糟糕

  • 可能限于左右循环
    牛顿法失效-3.png

洛必答法则

洛必答法则本身容易记住,重点是使用时的变形,要点是是对不定式使用
除法情况:
洛必达法则-1.png

除法=乘法,只须将一种一个变成倒数即可

减法情况,需要将减法进行通分,变成除法

指数情况,需要进行取对数,将指数编程乘法

示例:
洛必答法则示例-1.png
洛必答法则示例-2.png
洛必答法则示例-3.png
洛必答法则示例-4.png