Matrix Eigenvalue

本周清明回家,只完成2节的Matrix学习,Lesson21~Lesson22
为保持博客的完整性,下周的Matrix依旧会放到本篇博客中

第四周完成了Less23~Lesson24,继续在这里记录。


Eigenvalues and eigenvectors

  • 定义

    AX = λX

    Matrix A acts by stretching the vector x, not changing its direction. so x is an eigenvector of A.
    图解特征向量定义

  • 计算

    det(A-λI) = 0

  • 复数eigenvalues

    对称阵的特征值为实数,反对称阵的特征值为纯虚数
    Symmetric matrices have real eigenvalues
    For antisymmetric matrices like Q, for which AT = −A, all eigenvalues are imaginary (λ=bi).

  • 重复的eigenvalues

    非重复的eigenvalues用于相互独立的eigenvector,重复的eigenvalues可能用于独立的,也可能不独立的eigenvector

    重复的eigenvalues示例

Diagonalization and powers of A

  • 对角化:Diagonalization

    对角化公式
    对角化证明

  • A的幂运算,Powers of A
    A的幂运算

    当A的K次幂 -> 0时,说明A的特征向量绝对值<1

  • 差分方程
    差分方程

    差分方程的解
    在这里,它将U0用A的特征向量来表示的,有点当成一组基在使用

  • 菲比队列

    Fibonacci
    构造矩阵
    解


微分方程与exp(At)

本节可以分成3部分,解一个微分方程,稳态分析,exp(At)

  • 解微分方程
    微分方程实例
    初始状态u1=1 u2=0.

    微分方程其中A为微分方程的A
    对A求解特征值与特征向量得
    λ1=0,λ2=-3
    对应的特征向量为
    特征向量1
    特征向量2

    微分方程对应的一般解为:
    一般解
    可以看出这个一般解其实是一个线性组合,这里可以有一个证明,原因是在所有微分中,指数函数是唯一微分不变的。
    证明

    将特征值、特征向量、初始值带入一般解,求解出c1、c2,以此得到u(t)
    u(t)

    以此解完了整个微分方程,同时也引出了稳态分析

  • 稳态分析
    可以对u(t),尽心分析,当t趋于无穷.
    u无穷

    由此得到微分方程的稳态条件
    稳态

  • 推广
    推广
    这里的推广,首先是将一般解写成了矩阵方式即u=Sv,这里S是A的特征向量组成的矩阵,v是变量;然后将次等式带入微分方程,求解v(t).然后将v(t)代入等式,得到u(t),这里u(t)多了一个S逆
    这样引出了本节最后一部分exp(At)

  • exp(At)
    指数的无穷级数

    指数矩阵

    指数矩阵的解释

  • 二阶微分方程
    这里对二阶微分方程做了引申
    二阶微分方程
    与函数相同,将2阶换成2个一阶
    二阶引申

马尔科夫矩阵与傅里叶级数

  • 马尔科夫矩阵
    马尔科夫矩阵是这样一类矩阵:1. 矩阵每个元素都是正数;2. 矩阵每列的和为

    Markov矩阵

    它有两个属性

    1. λ=1是一个特征值,证明可以det(A-λI) = 0
    2. 其他的特征值都小于1

    上一节主要研究是是指数矩阵,这一节其实主要研究的是幂矩阵
    幂矩阵
    级数矩阵

  • 例子
    以麻省与加州人口

    λ1=1, λ2=0.7

    对应特征向量
    Markov特征向量1
    Markov特征向量2

    Markov的解

  • Projections with orthonormal basis
    这个是之前章的一个复习,正交化的矩阵的一个好处是,做投影时只需与正交矩阵相乘即可。
    正交矩阵-1
    正交矩阵-2
    正交矩阵的解

  • 傅里叶级数
    傅里叶级数

    对于向量:在R空间中向量空间
    对于函数:函数空间
    乘后加操作变成乘后积分操作,因为是周期函数,所以只积分周期即可。
    解过程
    傅里叶的解
    这样就解出了a1,以此可以解出an。